測光量の計算3 (輝度から光束照度への換算) - 光学設計とその周辺、そしてたまに全く関係ないやつ

今回からは輝度を取り上げ、まず一般的な考え方を輝度から光束、そして照度への変換方法一度に扱います。

以下は輝度の定義式を式変形したものです。

$dΦ=Lcosθ dωdS \tag{1} \label{1}$

よって、ある輝度を持つ微小面dSがθ方向に微小立体角dωだけ放射する光束Φは

$Φ=\int_S \int_ω L cosθ dωdS \tag{2} \label{2}$

と一般的に表されます。さて立体角のまま計算することはあまりないと思われますので、ある面光源から別のある面に放射する光束と形で光束を求めてみたいと思います。
以下の図のように、先ほど同様ある微小面dS₁からθ₁方向に輝度Lが放射されているとして、それを受け取る微小面dS₂に到達する光束を求めてみます。

f:id:Eikonal:20200629231153p:plain — 2つの面の位置関係

２つの面がrだけ離れているとして、前回取り上げた通りこの時dS₁の中心からdS₂に張る立体角dωはdω=dS₂/r²となり、さらにもしdS₂の法線とθ₂傾いている場合、dω=dS₂cosθ2/r²となります。よって、先ほどの式にそのまま代入すると、

$Φ=\int_S \int_ω L cosθ dωdS=\int_{S2'} \int_{S1'} L \dfrac{cosθ_1 cosθ_2}{r^2} dS_1 dS_2 \tag{3} \label{3}$

となります。ここからS₁とS₂の具体的な情報がわかれば輝度から光束への変換ができます。
さて、感が良ければ予想がつくかもしれませんが、この光束Φを受光側の面積dS₂で割れば、そこの照度が求まります。
これはS2→0となるわけなので、微小面dS₂における照度Eは以下の式で表されます。

$E=\dfrac{Φ}{S2}=\int_{S1'} L\dfrac{cosθ_1 cosθ_2}{r^2} dS_1 \tag{4} \label{4}$

以上で輝度から光束・照度への一般的な変換方法について学びました。最後に１つ具体的な例として、上式で輝度値LがS'₁にわたって一定の場合を扱います。この場合、上式は単純に、

$E= LS'_1\dfrac{cosθ_1 cosθ_2}{r^2} \tag{5} \label{5}$

と表されます。